Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）判斷并證明當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）在（2）成立的條件下，解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2+1為偶函數(shù)，y=x為奇函數(shù)

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，我們易得

函數(shù) 為奇函數(shù)

（2）解：當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)

∵函數(shù)

f'（x）= ＞0恒成立

故f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上為單調(diào)增函數(shù)

（3）解：在（2）成立的條件下，不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0可化為：

解得：

∴不等式的解集為

【解析】（1）由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故我們可利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷方法來解答問題；（2）由函數(shù)f（x）的解析式，我們易求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合x∈（﹣1，1），確定導(dǎo)函數(shù)的符號，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，我們可將原不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集．