Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）在（1）的條件下，求證：；

（3）當時，求函數在上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】分析：第一問首先求出函數的導數，求得函數和導函數在處的函數值，結合導數的幾何意義，利用直線方程的點斜式求得切線方程；第二問應用導數研究函數的單調性，找到相應的最值求得結果；第三問應用導數研究函數的單調性，分類討論，找到函數的最值來得到結果.

詳解：（1）當時，，．所以，，切線方程為．

（2）由（Ⅰ）知，則．當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增．當時，函數最小值是，因此.

（3），令，則．當時，設，因為，所以在上單調遞增，且，所以在恒成立，即．

當，，當，；所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以在上的最大值等于．因為，．

設()，所以．由（2）知在恒成立，所以在上單調遞增．

又因為，所以在恒成立，即，因此當時，在上的最大值為．