Question

（2012•眉山一模）已知△ABC，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，向量

m

=(c，a)，

n

=(2cos2 

C

2

-1，sinA)，且

m

∥

n

（I）求角C的大小；
（II）求2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)的最大值，并求取得最大值時角A，B的大小．

Answer 1

分析：（I）利用向量共線的充要條件，建立等式，再利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，即可求得結(jié)論；
（II）根據(jù)C=

π

4

，可得B=

3π

4

-A，從而2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)可化為

3

+2sin(A+

π

3

)，確定

π

3

＜A+

π

3

＜

13π

12

，即可求出結(jié)論．

解答：解：（I）∵

m

=(c，a)，

n

=(2cos2

C

2

-1，sinA)，且

m

∥

n

∴csinA-a（2cos2

C

2

-1）=0
∴csinA-acosC=0
∴sinCsinA-sinAcosC=0
∵sinA≠0，
∴tanC=1，
∴C=

π

4

（II）∵C=

π

4

，∴B=

3π

4

-A
∴2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)=2

3

×

1+cosA

2

+sin(π-A)=

3

+2sin(A+

π

3

)
∵0＜A＜

3

4

π，∴

π

3

＜A+ 

π

3

＜

13π

12

∴當(dāng)A+

π

3

=

π

2

時，即A=

π

6

時，2

3

cos2

A

2

+sin(B+

π

4

)取得最大值為

3

+2，
取得最大值時，A=

π

6

，B=

7π

12

．

點評：本題考查正弦定理的運用，考查三角形與三角函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是將三角函數(shù)式正確變形．