Question

（2012•眉山一模）函數(shù)f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f(x)-m=0在[

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2

，4]上恰有兩個不等實根，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù)y=f（x）圖象是否存在對稱中心？若存在，求出對稱中以后坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易求切點為（2，5）則f（2）=5①，然后再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f^′（2）=-3②根據(jù)①②即可求出a，b的值從而可求出函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）問題即求方程m=f（x）在區(qū)間[

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，4]上恰由兩個不等實根而解決這類問題常用數(shù)形結(jié)合的方法即根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性作出函數(shù)f（x）的簡圖然后平行移動直線y=m使得其與f（x）有兩個不同的交點所對應(yīng)的m的范圍即為所求．
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）圖象存在對稱中心則其極值點也關(guān)于此中心對稱，故可先求出函數(shù)f（x）的極值點然后利用中點坐標(biāo)公式求出的中點即為對稱中心然后在利用對稱的定義證明則曲線y=f（x）關(guān)于此點對稱即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得f^′（x）=3ax²-12ax+3b，f^′（2）=-3且f（2）=5
∴

4a-b=1 -16a+7b=5

∴a=1，b=3
∴f（x）=x³-6x²+9x+3
（Ⅱ）既考慮方程m=f（x）在區(qū)間[

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2

，4]上恰由兩個不等實根的情形
∵f（x）=x³-6x²+9x+3
∴f^′（x）=3（x-1）（x-3）
令f^′（x）＞0則x＜1或x＞3而x∈[

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2

，4]∴

1

2

＜x＜1或3＜x＜4即f（x）在x∈[

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2

，1）和x∈（3，4]上單調(diào)遞增
令f^′（x）＜0則1＜x＜3∴f（x）在x∈（1，3）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=1時f（x）取得極大值f（1）=7，當(dāng)x=3時f（x）取得極小值f（3）=3
∵f（

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2

）=

49

8

，f（4）=7
∴可作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[

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2

，4]上的圖象
如圖可知，當(dāng)方程f（x）-m=0在[

1

2

，4]上恰由兩個不等實根的情時實數(shù)m的取值范圍是3＜m＜

49

8

或m=7
（Ⅲ）存在對稱中心，其坐標(biāo)為（2，5）
由（Ⅱ）知，f^′（x）=3（x-1）（x-3）
∴當(dāng)x＜1或x＞3時f^′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時f^′（x）＜0故可知函數(shù)f（x）的極值點為A（1，7），B（3，3），線段AB的中點P（2，5）在曲線y=f（x）上，且該曲線關(guān)于點P（2，5）成中心對稱，證明如下：
∵f（x）=x³-6x²+9x+3
∴f（4-x）=（4-x）³-6（4-x）²+9（4-x）+3=-x³+6x²-9x+7
∴f（x）+f（4-x）=10
上式表明若點A（x，y）為曲線y=f（x）上任一點，其關(guān)于點P（2，5）的對稱點A（4-x，10-y）也在曲線y=f（x）上，則曲線y=f（x）關(guān)于點P（2，5）對稱

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，以及曲線的對稱中心的求解與證明．解題的關(guān)鍵是要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義同時要掌握方程的根的個數(shù)與所對應(yīng)的函數(shù)的交點的個數(shù)是對應(yīng)的這個轉(zhuǎn)化思想！