Question

【題目】已知圓，，動圓與圓、都相切，則動圓的圓心軌跡的方程為________；直線與曲線僅有三個公共點，依次為、、，則的最大值為________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況討論①圓與圓外切，與圓內切；②圓與圓、都內切.利用橢圓的定義可求得軌跡的方程；由直線與曲線僅有三個公共點，可知直線與橢圓相切，對直線的斜率是否存在進行分類討論，聯立直線與橢圓的方程，利用弦長公式結合不等式的性質可求得的最大值.

已知圓，，則圓內含于圓，

圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.

設動圓的半徑為，分以下兩種情況討論：

①圓與圓外切，與圓內切，

由題意可得，，

此時，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點，長軸長為的橢圓，

，，則，此時，軌跡的方程為；

②圓與圓、都內切，且，

由題意可得，，

此時，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點，長軸長為的橢圓，

，，，此時，軌跡的方程為；

綜上所述，軌跡的方程為或；

由于直線與曲線僅有三個公共點，則直線與橢圓相切.

①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，

可設直線的方程為，聯立，解得，此時；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立，消去并整理得，

，可得，

設點、，聯立，消去并整理得，

，

由韋達定理得，，

，

，當且僅當時，取得最大值.

故答案為：或；.