Question

已知函數，f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的最大值為3，f（x）的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為2，在y軸上的截距為2．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式對函數解析式化簡，進而根據函數的最大值求得A，根據兩對稱軸間的距離求得函數的最小正周期，進而求得ω，把x=0代入解析式結果為2進而求得φ，則函數的解析式可得．
（Ⅱ）先利用正弦函數的單調性可知當2kπ+

π

2

＜

π

2

x＜2kπ+

3π

2

時f（x）單調遞增，進而求得x的范圍，求得函數的單調性遞增區間．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

A

2

cos（2ωx+2φ）+1+

A

2

依題意

A

2

+1+

A

2

=3，∴A=2

T

2

=2，得T=4∴

2π

2ω

=4ω=

π

4

∴f（x）=cos（

π

2

x+2φ）+2
令x=0，得cos2φ+2=2，又0＜φ

π

2

∴2φ=

π

2

所以函數f（x）的解析式為
f（x）=2-sin

π

2

x
還有其它的正確形式，如：
f（x）=2cos2（

π

4

x+

π

4

）+1，f（x）=cos（

π

2

x+

π

2

）+2
（Ⅱ）當2kπ+

π

2

＜

π

2

x＜2kπ+

3π

2

，
k∈Z時f（x）單調遞增
即4k+1＜x＜4k+3，k∈Z
∴f（x）的增區間是（4k+1，4k+3），k∈Z．

點評：本題主要考查了利用y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數的解析式．應熟練掌握如振幅，權相，周期等問題．