Question

【題目】如圖，三條直線型公路，，在點(diǎn)處交匯，其中與、與的夾角都為，在公路上取一點(diǎn)，且km，過(guò)鋪設(shè)一直線型的管道，其中點(diǎn)在上，點(diǎn)在上（，足夠長(zhǎng)），設(shè)km，km．

（1）求出，的關(guān)系式；

（2）試確定，的位置，使得公路段與段的長(zhǎng)度之和最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，公路段與段的總長(zhǎng)度最小

【解析】

（1）（法一）觀察圖形可得，由此根據(jù)三角形的面積公式，建立方程，化簡(jiǎn)即可得到的關(guān)系式；

（法二）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，找到各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，即可得到結(jié)論；

（2）運(yùn)用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．

（1）（法一）由圖形可知．

，

，

所以，即．

（法二）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，

由，，三點(diǎn)共線得．

（2）由（1）可知，

則（），

當(dāng)且僅當(dāng)（km）時(shí)取等號(hào)．

答：當(dāng)時(shí)，公路段與段的總長(zhǎng)度最小為8．.