Question

某三次函數當x=1時有極大值4，當x=3時有極小值0，且函數圖象過原點，則此函數為（　　）

A．y=x³+6x²+9x

B．y=x³-6x²-9x

C．y=x³-6x²+9x

D．y=x³+6x²-9x

Answer 1

分析：設三次函數為y=ax³+bx²+cx+d，因為過原點，所以常數項為d=0，y'=3ax²+2bx+c，根據該函數當x=1時有極大值4，當x=3時，有極小值0，可得

1+3=- 2b 3a 1×3= c 3a a+b+c=4

，從而可求a=1，b=-6，c=9，故可得三次函數．

解答：解：設三次函數為y=ax³+bx²+cx+d
因為過原點，所以常數項為d=0
∴y=ax³+bx²+cx
∴y'=3ax²+2bx+c
由于該函數當x=1時有極大值4，當x=3時，有極小值0，
所以3ax²+2bx+c=0有兩個實根1和3
∴

1+3=- 2b 3a 1×3= c 3a a+b+c=4

∴a=1，b=-6，c=9
所以三次函數為y=x³-6x²+9x
故選C．

點評：本題以函數的性質為載體，考查函數解析式的求解，解題的關鍵是正確運用導數，合理建立方程組．