Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=λ（λ＜0）的曲線即為函數y=f（x）的圖象，對于函數y=f（x），下列命題中正確的是

 

．（請寫出所有正確命題的序號）
①函數y=f（x）在R上是單調遞減函數；
②函數y=f（x）的值域是R；
③函數y=f（x）的圖象不經過第一象限；
④函數y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱；
⑤函數F（x）=4f（x）+3x至少存在一個零點．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：不妨取λ=-1，根據x、y的正負去絕對值，將方程化簡，得到相應函數在各個區間上的表達式，由此作出函數的圖象，再由圖象可知函數在R上單調遞減，且函數的值域為R，所以①②③成立，④不正確．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x．因為雙曲線

x2

16

-

y2

9

=-1和-

x2

16

+

y2

9

=-1的漸近線為y=±

3

4

x，即可得出結論．

解答： 解：不妨取λ=-1，對于①，當x≥0且y≥0時，方程為

x2

16

+

y2

9

=-1，此時方程不成立．
當x＜0且y＜0時，方程為

x2

16

+

y2

9

=1，此時y=-3

- x2 16 +1

．
當x≥0且y＜0時，方程為

x2

16

-

y2

9

=-1，此時y=-3

x2 16 +1

．
當x＜0且y≥0時，方程為-

x2

16

+

y2

9

=-1，即y=3

x2 16 -1

．
因此作出函數的圖象，如圖所示
由圖象可知函數在R上單調遞減，所以①②③成立，④不正確．
⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x．
因為雙曲線

x2

16

-

y2

9

=-1和-

x2

16

+

y2

9

=-1的漸近線為y=±

3

4

x，
所以函數y=f（x）與直線y=-

3

4

x無公共點，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零點，可得⑤不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題給出含有絕對值的二次曲線，要我們判斷并于曲線性質的幾個命題的真假．著重考查了含有絕對值的函數式的化簡、函數的圖象與性質、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于難題．