Question

在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，F₁，F₂為其左、右焦點，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓交于A，B，C，D四個點，若F₁，F₂，A，B，C，D恰好為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  2

  -1
• B．

  2

  2

• C．

  3

  -1
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：如圖，連接AF₂，結合正六邊形的性質得∠F₁AF₂=90°．Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|AF₁|=c，可得|AF₂|=

3

c，結合橢圓的定義得：|AF₁|+|AF₂|=（1+

3

）c=2a，再結合離心率公式即可算出該橢圓的離心率．

解答：解：如圖，連接AF₂，可得等腰△ABF₂中，∠B=120°
∴∠BAF₂=∠AF₂B=30°
因此∠F₁AF₂=120°-30°=90°
Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|AF₁|=c
∴|AF₂|=

3

c，得|AF₁|+|AF₂|=（1+

3

）c=2a
因此，橢圓的離心率e=

c

a

=

2c

2a

=

2c

(1+ 3 )c

=

3

-1
故選：C

點評：本題給出橢圓的焦距恰好是其內接正六邊形的長對角線，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與基本概念、正六邊形的性質等知識，屬于基礎題．