Question

【題目】定義非零向量的“相伴函數(shù)”為（），向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為.

（1）已知（），求證：，并求函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；

（2）已知點(diǎn)（）滿足，向量的 “相伴函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）依題意，將可化為 ，即可得證，同時(shí)利用向量模的概念可求得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得的取值范圍；

（2）由 可求得時(shí)取得最大值，其中，為直線OM的斜率，由幾何意義知，再利用二倍角的正切可求得的范圍.

詳解：（1） ，

∴ 的相伴向量，∴ ，

∵ ，

∵ ，∴ ，∴ .

（2）的相伴函數(shù) ，

其中，，

當(dāng)，即，時(shí)取得最大值，

∴ ，

∴ ，

為直線的斜率，又滿足，

∴，

∴ ，

∴ .