Question

對于定義域內的任意實數x，函數f（x）=

x2+(a-1)x-2a+2

2x2+ax-2a

的值恒為正數，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：題目給出的函數是分式函數，且分子分母均為二次三項式，對應的函數均開口向上，所以分分子分母對應的方程同解和不同解討論，同解時利用系數相等求a的值，不同解時，若a≠0，則需分子分母對應的方程均無解，a=0時，在定義域內函數值恒大于0．

解答： 解：給出的函數分子分母都是二次三項式，對應的圖象都是開口向上的拋物線，若分子分母對應的方程是同解方程，
則

a-1= a 2 -a=-2a+2

，解得a=2．
此時函數的值為f（x）=

1

2

＞0．
若分子分母對應的方程不是同解方程，要保證對于定義域內的任意實數x，函數值均為正，
則需要分子分母的判別式均小于0，
即

(a-1)2-4(2-2a)＜0 a2-4×2×(-2a)＜0

，
解得-7＜a＜0．
∴a的范圍是-7＜a＜0．
當a=0時，函數化為f（x）=

x2-x+2

2x2

，函數定義域為{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判別式小于0，
分子恒大于0，函數值恒正．
綜上，對于定義域內的任意實數x，函數值均為正，則實數a的取值范圍是-7＜a≤0或a=2．
故答案為：-7＜a≤0或a=2．

點評：本題考查恒成立問題，考查了利用函數值的范圍求解參數的取值范圍，解答此題的關鍵是由函數值恒為正得到分子分母的取值情況，屬中檔題．