Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2﹣alnx（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值；
（2）討論方程f（x）=0解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)椋? （x＞0），又f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b

所以 解得：a=2，b=﹣2ln2

（2）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時(shí)方程無解；

當(dāng)a＜0時(shí)， 在（0，+∞）上恒成立，

所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)．∵ ， ，所以方程有惟一解．

當(dāng)a＞0時(shí)，

因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在 內(nèi)為減函數(shù)；

當(dāng) 時(shí)，f（x）在 內(nèi)為增函數(shù)．

所以當(dāng) 時(shí)，有極小值即為最小值

當(dāng)a∈（0，e）時(shí)， ，此方程無解；

當(dāng)a=e時(shí)， ．此方程有惟一解 ．

當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)， ，

因?yàn)? 且 ，所以方程f（x）=0在區(qū)間 上有惟一解，

因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，（x﹣lnx）'＞0，所以x﹣lnx＞1，

所以， ，

因?yàn)?/span> ，所以 ，

所以 方程f（x）=0在區(qū)間 上有惟一解．

所以方程f（x）=0在區(qū)間（e，+∞）上有惟兩解．

綜上所述：當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，方程無解；

當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，方程有惟一解；

當(dāng)a＞e時(shí)方程有兩解．

【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，列出方程組求解a，b．（2）通過a=0，a＜0，判斷方程的解．a(chǎn)＞0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值，分析出當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，方程無解；當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，方程有惟一解；當(dāng)a＞e時(shí)方程有兩解．