Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0 （Ⅰ）當 時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設函數f（x）的圖象在點P（x1 ， f（x1）），Q（x2 ， f（x2））兩處的切線分別為l1 ， l2 ． 若 ，且l1⊥l2 ， 求實數c的最小值．

Answer 1

【答案】解：函數 ，求導數 ，

（Ⅰ）當 時， ，

若 ，則 恒成立，

所以f（x）在 上單調遞減；若 ，則 ，

令f'（x）=0，解得 或 （舍），

當 時，f'（x）＜0，f（x）在 上單調遞減；

當 時，f'（x）＞0，f（x）在 上單調遞增．

所以函數f（x）的單調遞減區間是 ，單調遞增區間是

（Ⅱ）由l1⊥l2知， ，而 ，則 ，

若 ，則

所以 ，解得 ，不符合題意

故 ，則

整理得 ，由c＞0，a＜0得

令 ，則 ，所以

設 ，當 時，g'（t）＜0，g（t）在 上單調遞減；

當 時，g'（t）＞0，g（t）在 上單調遞增

所以函數g（t）的最小值為 ，故實數c的最小值為

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）根據垂直關系求出a的范圍，令 ，則 ，表示出c，根據函數的單調性求出c的最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．