Question

已知函數f(x)＝a^x＋x²－xlna(a>0，a≠1)．
(1)當a>1時，求證：函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
(2)若函數y＝|f(x)－t|－1有三個零點，求t的值；
(3)若存在x₁、x₂∈[－1，1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1，試求a的取值范圍．

Answer 1

（1）見解析（2）t＝2（3）∪[e，＋∞)

審題引導：本題考查函數與導數的綜合性質，函數模型并不復雜，(1)(2)兩問是很常規的，考查利用導數證明單調性，考查函數與方程的零點問題．第(3)問要將“若存在x₁、x₂∈[－1，1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1”轉化成|f(x)_max－f(x)_min|＝f(x)_max－f(x)_min≥e－1成立，最后仍然是求值域問題，但在求值域過程中，問題設計比較巧妙，因為在過程中還要構造函數研究單調性來確定導函數的正負．
規范解答：(1)證明：f′(x)＝a^xlna＋2x－lna＝2x＋(a^x－1)·lna.(2分)
由于a>1，故當x∈(0，＋∞)時，lna>0，a^x－1>0，所以f′(x)>0.
故函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．(4分)
(2)解：當a>0，a≠1時，因為f′(0)＝0，且f′(x)在R上單調遞增，故f′(x)＝0有唯一解x＝0.(6分)所以x、f′(x)、f(x)的變化情況如下表所示：

x	(－∞，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

又函數y＝|f(x)－t|－1有三個零點，所以方程f(x)＝t±1有三個根，而t＋1>t－1，所以t－1＝f(x)_min＝f(0)＝1，解得t＝2.(10分)
(3)解：因為存在x₁、x₂∈[－1，1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1，所以當x∈[－1，1]時，|f(x)_max－f(x)_min|＝f(x)_max－f(x)_min≥e－1.(12分)
由(2)知，f(x)在[－1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，所以當x∈[－1，1]時，f(x)_min＝f(0)＝1，f(x)_max＝max{f(－1)，f(1)}．
而f(1)－f(－1)＝(a＋1－lna)－＝a－－2lna，
記g(t)＝t－－2lnt(t>0)，因為g′(t)＝1＋－＝≥0(當且僅當t＝1時取等號)，
所以g(t)＝t－－2lnt在t∈(0，＋∞)上單調遞增，而g(1)＝0，
所以當t>1時，g(t)>0；當0<t<1時，g(t)<0，
也就是當a>1時，f(1)>f(－1)；當0<a<1時，f(1)<f(－1)．(14分)
①當a>1時，由f(1)－f(0)≥e－1?a－lna≥e－1?a≥e，
②當0<a<1時，由f(－1)－f(0)≥e－1?＋lna≥e－1?0＜a≤，
綜上知，所求a的取值范圍為∪[e，＋∞)．(16分)