Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

證明：（1）取PD的中點M，
∵E是PC的中點
∴ME是△PCD的中位線
∴ME∥FB
∴四邊形MEBF是平行四邊形∴BE∥MF
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）連接BD，易得△ABD為等邊三角形
又由F為AB的中點
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF?平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）過點A做AH⊥CB延長線于H，因為PA⊥面ABCD，所以PH⊥BC，既∠PHA為二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABC中PA=1，AH=

3

，所以∠PHA=30°
既二面角P-BC-A的大小為30°．