Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC，AD的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值為

6

6

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）因為E，F分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，
所以BE

∥ .

.

FD，所以，BEDF為平行四邊形，（2分）
得ED∥FB，（3分）
又因為FB?平面PFB，且ED?平面PFB，（4分）
所以DE∥平面PFB．（5分）

（Ⅱ）如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分
別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．設PD=a，
可得如下點的坐標：
P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）
則有：

PF

=(1，0，-a)，

FB

=(1，2，0)，（6分）
因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一個法向量為

m

=（0，0，1），（.7分）
設平面PFB的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則可得

PF •n=0 FB •n=0

即

x-az=0 x+2y=0

令x=1，得z=

1

a

，y=-

1

2

，所以n=(1，-

1

2

，

1

a

)．（9分）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為

6

6

，
所以得：cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

1 a

5 4 + 1 a2

=

6

6

，（10分）
解得a=2．（11分）
因為PD是四棱錐P-ABCD的高，
所以，其體積為VP-ABCD=

1

3

×2×4=

8

3

．（13分）