Question

（2011•濰坊二模）已知非零向量

a

、

b

滿足|

a

|=

3

|

b

|，若函數(shù)f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1在R上有極值，則＜

a

，

b

＞的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  π

  6

  ]
• B．(0，

  π

  3

  ]
• C．(

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• D．(

  π

  6

  ，π]

Answer 1

分析：根據(jù)三次函數(shù)在R上有極值，可知方程f′（x）=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，從而判別式大于0，結(jié)合條件|

a

|=

3

|

b

|，可求＜

a

，

b

＞的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1
∴f′(x)=x2+2|

a

|x+2

a

•

b

令f′（x）=0
∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1在R上有極值
∴方程f′（x）=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根
∴△=4|

a

|2 -8

a

•

b

＞ 0
∵|

a

|=

3

|

b

|
∴12|

b

|2-8

3

|

b

|2cos＜

a

，

b

＞＞0
∴cos＜

a

，

b

＞＜

3

2

∵0≤＜

a

，

b

＞≤π
∴

π

6

＜＜

a

，

b

＞≤π
∴＜

a

，

b

＞的取值范圍是(

π

6

，π]
故選D．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)極值為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根．