Question

【題目】拋物線的焦點(diǎn)是.問：是否存在內(nèi)接等腰直角三角形，該三角形的一條直角邊過點(diǎn)？如果存在，存在幾個？如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖，設(shè)一條直角邊是，則直線的方程是.

由

得到.

其判別式為 .

可見，，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與縱坐標(biāo)，，分別是

，.

考慮復(fù)平面，設(shè)向量，

于是， .

從而，

.

注意到在上，

因此.

整理得 . ①

將①兩邊平方，整理得. ②

做出函數(shù)和的圖象，可以看出這兩個圖象有兩個交點(diǎn)（如圖），設(shè)它們的橫坐標(biāo)各是，，其中，.注意到時(shí)，，所以，等式不成立.與①比較后知，方在①不存在區(qū)間內(nèi)的根.由此可見，方程②只有一個大于1的正實(shí)根.

由拋物線的軸對稱性，可以看出，當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形處于圖的狀況時(shí)，斜邊與拋物線的對稱軸相交，有兩解（見圖）.

類似地，當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的斜邊與拋物線的對稱軸不相交時(shí)，又有兩解.

綜上可知，拋物線共有四個內(nèi)接等腰直角三角形，它們過焦點(diǎn)的那條直角邊的斜率恰是方程②的四個實(shí)根