【題目】已知在正整數n的各位數字中，共含有
個1，
個2，，
個n．證明：
并確定使等號成立的條件．
【答案】見解析
【解析】
對正整數n的位數使用數學歸納法．
當
是一位數，即
時，所證式顯然成立，
這是因為，此時的十進制表達式中只有一位數字，
即
，其余
，所以，左邊=
=右邊．
假設當正整數不超過k位，即
時，結論皆成立．
現考慮為
位數，即
時的情形．
設的首位數字為r．則
. ①
若
，則在數的各位數字中，
，其余
.
顯然，
.
若
，記
的各位數字中含有
個1，
個2，…，
個r，…，
個9．
則的各位數字中，含有
個r、
個j
.
注意到，正整數不超過k位．
由歸納法假設，對有
②
則當為位數時，結論也成立．
故由數學歸納法，知對一切正整數，結論皆成立．
欲使等號成立，由證明過程，知要么為一位數；要么在的位數大于或等于2時，由式②，必須
，此時，由式①得
，
即可表示為
的形式.
上述條件也是充分的，當能夠表成以上形式時，有
，其余
.
故
培優好卷單元加期末卷系列答案
一線名師權威作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的左、右頂點分別為A，B，離心率為
，點P（1，
）為橢圓上一點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過點C（0，1）且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，（
，
，
）的部分圖像如圖所示.
（1）求函數
的解析式及圖像的對稱軸方程；
（2）把函數
圖像上點的橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移
個單位，得到函數
的圖象，求關于x的方程
在
時所有的實數根之和.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系中，已知曲線
的參數方程為
為參數
以原點為極點x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為：
，直線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）寫出曲線
的極坐標方程，并指出它是何種曲線；
（Ⅱ）設與曲線交于
兩點，與曲線交于
兩點，求四邊形
面積的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，且PF2垂直于x軸，連結PF1并延長交橢圓于另一點Q，設
=λ
．
（1）若點P的坐標為（2，3），求橢圓C的方程及λ的值；
（2）若4≤λ≤5，求橢圓C的離心率的取值范圍．
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