Question

已知直線l經過點(1，0)且一個方向向量d＝(1，1)．橢圓C：＝1(m>1)的左焦點為F₁.若直線l與橢圓C交于A，B兩點，滿足·＝0，求實數m的值．

Answer 1

2＋.

由已知可得直線l的方程：y＝x－1，左焦點F₁(－1，0)，設點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，整理得：(2m－1)x²－2mx＋2m－m²＝0.當m>1時，Δ＝4m(2m²－4m＋2)>0恒成立．因為＝(x₁＋1，y₁)，＝(x₂＋1，y₂)，所以(x₁＋1)(x₂＋1)＋y₁y₂＝0.(*)
因為y₁＝x₁－1，y₂＝x₂－1，所以(*)式化簡得：x₁x₂＋1＝0.
由此可得＋1＝0，(m>1)，由此解得m＝2＋.