Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2．

Answer 1

分析：由基本不等式可得ab≤

1

4

，故有

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤1，從而有  2+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，即（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4，可得不等式成立．

解答：證明：因為1=a+b≥2

ab

，所以ab≤

1

4

，所以 

1

2

（a+b）+ab+

1

4

≤1，
所以

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤1，從而有  2+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即：（a+

1

2

）+（b+

1

2

）+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，即：（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4，所以原不等式成立．

點評：本題考查用綜合法證明不等式，得到：（a+

1

2

）+（b+

1

2

）+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，是解題的關鍵．