Question

【題目】如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ACC1A1與側面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．

（1）求證：AB1⊥CC1；
（2）若 ，求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC1，CB1，則△ACC1和△BCC1皆為正三角形．

取CC1的中點O，連接OA，OB1，則CC1⊥OA，CC1⊥OB1，

又OA∩OB1=O，所以CC1⊥平面OAB1．

又AB1平面OAB1，所以CC1⊥AB1

（2）解：由（1）知， ，又 ，所以OA⊥OB1．

如圖所示，以O為原點，以OB1，OC1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則 ，

設平面CAB1的一個法向量為 ，

因為 ，

所以 取 ．

設平面A1AB1的一個法向量為 ，

因為 ，

所以 取 ．

則 ，

∴sin＜ ＞= = ．

所以二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是 ．

【解析】（1）連接AC1 ， CB1 ， 取CC1的中點O，則CC1⊥OA，CC1⊥OB1 ， 從而CC1⊥平面OAB1 ． 由此能證明CC1⊥AB1 ． （2）以O為原點，以OB1 ， OC1 ， OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．