Question

已知函數的反函數為f^-1（x），數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：成等比數列，數列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求原函數的反函數，即從原函數式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數的解析式，再利用等差數列求數列的通項，最后求出數列{a_n}的通項．
（2）據成等比數列求得數列{b_n}的通項，再利用錯位相乘法求其前n項和即可．
解答：解：（Ⅰ）∵=（x≥4），
∴f^-1（x）=（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=，
即（n∈N*）．
∴數列是以為首項，公差為2的等差數列．
∴，即a_n=（2n-1）²（n∈N*）．
（Ⅱ）∵成等比數列，∴
從而（n∈N*）．
∴S_n=b₁+b₂++b_n=
則
兩式相減得=
∴．
點評：本題考查反函數的求法，以及等差數列等比數列的通項公式和性質，還有錯位相頭減法求數列的前n項和．屬于中檔題．