Question

【題目】在四棱錐的底面中，∥，，平面，是的中點，且

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段內是否存在點，使得？若存在指出點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）； （3）線段上存在中點，使得.

【解析】

（1）連接，證得四邊形為平行四邊形，得到，利用線面平行的判定定理，即可證得∥平面；

（2）建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；

（3）假設存在，設出點E的坐標，通過時，向量的數量積為0，建立方程，即可求解.

（1）連接，因為是的中點，,

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因為平面，平面，

所以∥平面；

（2）由（1）可知，四邊形也是平行四邊形，

又由，所以四邊形是正方形，所以,

又由平面，所以以O為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

可得，

設平面的一個法向量為，則，可取，

設平面的一個法向量為，則，可取，

設二面角的平面角為，

即二面角的余弦值為.

（3）假設線段上存在點E，且滿足，

設，則，所以，即，

所以,

又由，可得，

所以，解得，

即線段上存在中點，使得.