Question

【題目】已知自變量為的函數.其中，為自然對數的底，.

（Ⅰ）求函數與的單調區間，并且討論函數的單調性;

（Ⅱ）已知，求證：

（ⅰ）方程有兩個根，；

（ⅱ）若（ⅰ）中的兩個根滿足，，則，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區間為，減區間為；增區間為，見解析（Ⅱ）（ⅰ）見解析（ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）分別求得，的導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間，進而得到最值，可得單調區間；討論為奇數和偶數，即可得到所求單調性；

（Ⅱ），（ⅰ）運用為奇數的函數的單調性，結合圖象即可得證；

（ⅱ）為奇數時，在遞減，在遞增，且越小，函數的圖象與直線的交點越靠近軸，即可得證．

解：（Ⅰ）的導數為

，由時；由時；

可得的增區間為，減區間為；

的導數為

，，

可得，

可得的增區間為；

經過次導數可得，

由，在時，；時；

則次求導時，導函數在遞增；遞減，

即有導函數的最小值為0，

可得為奇數，在遞減，在遞增；

為偶數時，在遞增；

（Ⅱ）證明：，（ⅰ）由為奇數，在遞減，

在遞增；可得，有最小值0，無最大值，

則方程有兩個根，；

（ⅱ）若（ⅰ）中的兩個根滿足，，

由于為奇數時，在遞減，在遞增，

且越小，函數的圖象與直線的交點越靠近軸，

則，．