【題目】已知函數
，（ 
， 
）.
（1）若
， 
，求函數
的單調增區間；
（2）若
時，不等式
在
上恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）當
， 
時，記函數
的導函數
的兩個零點是
和
（
），求證： 
.
【答案】（1）
， 
；（2）
；（3）詳見解析.
【解析】試題分析：
(1)利用導函數大于零可得函數的單調增區間為
， 
.
(2)不等式恒成立轉化為
在區間
上恒成立，構造新函數
，結合題意討論其性質可得
；
(3)由題意可得
（
），由根與系數的關系： 
.由題意有
， 
，構造新函數
.利用函數的性質可得
.
試題解析：（1）由題意： 
， 
， 
時， 
所以
令
，得
，因為
，所以
或
所以
的單調增區間為
， 
（2）
時， 
，
不等式
在
上恒成立即為： 
在區間
上恒成立
令
，則
，令
得： 
，
因為
時， 
， 
時， 
，
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增
所以
，所以
（3）方法一：因為
，所以
，從而
（
）
由題意知， 
， 
是方程
的兩個根，故
.
記
，則
，因為
，所以
，所以
， 
，且
（
， 
）.
因為
，所以
， 
.
令
， 
.
因為
，所以
在
單調遞增，
所以
，即
.
方法二：因為
，所以
，從而
（
）.
由題意知， 
， 
是方程
的兩個根.記
，則
，
因為
，所以
， 
，
所以
， 
，且
在
上為減函數.
所以
.
因為
，故
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某批產品中，有放回地抽取產品兩次，每次隨機抽取1件，假設事件A：“取出的2件產品中至多有1件是二等品”，其概率P(A)=0.96.
(1)求從該批產品中任取1件是二等品的概率p.
(2)若該批產品共100件，從中無放回抽取2件產品，ξ表示取出的2件產品中二等品的件數.求ξ的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們用圓的性質類比球的性質如下:
①p:圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦; q:球心與小圓截面圓心的連線垂直于截面.
②p:與圓心距離相等的兩條弦長相等; q:與球心距離相等的兩個截面圓的面積相等.
③p:圓的周長為C=πd(d是圓的直徑); q:球的表面積為S=πd2(d是球的直徑).
④p:圓的面積為S=
R·πd(R,d是圓的半徑與直徑); q:球的體積為V=
R·πd2(R,d是球的半徑與直徑).
則上面的四組命題中,其中類比得到的q是真命題的有( )個
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮沿海登陸，造成165.17萬人受災， 5.6萬人緊急轉移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農田受災，直接經濟損失12.99億元，距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響，適逢暑假，小明調查了梅州某小區的50戶居民由于臺風造成的經濟損失，將收集的數據分成
， 
， 
， 
， 
五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）：
（1）試根據頻率分布直方圖估計小區平均每戶居民的平均損失；
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）小明向班級同學發出倡議，為該小區居民捐款，現從損失超過6000元的居民中隨機
抽出2戶進行捐款援助，求抽出的2戶居民損失均超過8000元的概率；
（3）臺風后區委會號召該小區居民為臺風重災區捐款，小明調查的50戶居民捐款情況如下表，
在圖2表格空白外填寫正確數字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數額超過或
不超過500元和自身經濟損失是否超過4000元有關？
經濟損失不超過4000元 | 經濟損失超過4000元 | 合計 | |
捐款超過500元 | 30 | ||
捐款不超過500元 | 6 | ||
合計 |
附：臨界值參考公式： 
， 
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 /td> | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】十八屆五種全會公報指出：努力促進人口均衡發展，堅持計劃生育的基本國策，完善人口發展戰略，全面實施一對夫婦可生育兩個孩子的政策，提高生殖保健、婦幼保健、托兒等公共服務水平.為了解適齡公務員對放開生育二胎政策的態度，某部門隨機調查了100位30到40歲的公務員，得到情況如下表：
男公務員 | 女公務員 | |
生二胎 | 40 | 20 |
不生二胎 | 20 | 20 |
（1）是否有95%以上的把握認為“生二胎與性別有關”，并說明理由；
（2）把以上頻率當概率，若從社會上隨機抽取3位30到40歲的男公務員，記其中生二胎的人數為
，求隨機變量的分布列，數學期望.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠于2016年下半年對生產工藝進行了改造（每半年為一個生產周期），從2016年一年的產品中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示（如圖）．已知每個生產周期內與其中位數誤差在±5范圍內（含±5）的產品為優質品，與中位數誤差在±15范圍內（含±15）的產品為合格品（不包括優質品），與中位數誤差超過±15的產品為次品．企業生產一件優質品可獲利潤20元，生產一件合格品可獲利潤10元，生產一件次品要虧損10元
（Ⅰ）求該企業2016年一年生產一件產品的利潤為10的概率；
（Ⅱ）是否有95%的把握認為“優質品與生產工藝改造有關”．
附：
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2=
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數之比為
，且成績分布在
，分數在
以上（含）的同學獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取
人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.
（1）填寫下面的
列聯表，能否有超過
的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”？
（2）將上述調査所得的頻率視為概率，現從參賽學生中，任意抽取
名學生，記“獲獎”學生人數為
，求
的分布列及數學期望.
文科生 | 理科生 | 合計 | |
獲獎 |
| ||
不獲獎 | |||
合計 |
|
附表及公式：
，其中
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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