Question

若數列{a_n}滿足a_n＋1＝a_n＋a_n＋2(n∈N^*)，則稱數列{a_n}為“凸數列”．
(1)設數列{a_n}為“凸數列”，若a₁＝1，a₂＝－2，試寫出該數列的前6項，并求出前6項之和；
(2)在“凸數列”{a_n}中，求證：a_n＋3＝－a_n，n∈N^*；
(3)設a₁＝a，a₂＝b，若數列{a_n}為“凸數列”，求數列前2011項和S₂₀₁₁.

Answer 1

（1）S₆＝0（2）見解析（3）a

(1)解：a₁＝1，a₂＝－2，a₃＝－3，a₄＝－1，a₅＝2，a₆＝3，故S₆＝0.
(2)證明：由條件得所以a_n＋3＝－a_n.
(3)解：由(2)的結論得a_n＋6＝－a_n＋3＝a_n，即a_n＋6＝a_n.
a₁＝a，a₂＝b，a₃＝b－a，a₄＝－a，a₅＝－b，a₆＝a－b，∴S₆＝0.
由(2)得S_6n＋k＝S_k，n∈N^*，k＝1，…，6，
故S₂₀₁₁＝S_335×6＋1＝a₁＝a.