Question

對任意x∈R,函數f(x)滿足f(x+1)= + ,設a_n=[f(n)]²-f(n),數列{a_n}的前15項的和為,則f(15)=　　　　.

Answer 1

因為f(x+1)=+,
所以f(x+1)-=≥0,
即f(x+1)≥.
兩邊平方得[f(x+1)-]²=f(x)-[f(x)]²,
即[f(x+1)]²-f(x+1)+=f(x)-[f(x)]²,
即[f(x+1)]²-f(x+1)+[f(x)]²-f(x)=-,
即a_n+1+a_n=-,
即數列{a_n}的任意相鄰兩項之和為-,
所以S₁₅=7×(-)+a₁₅=-,即a₁₅=-.
所以a₁₅=[f(15)]²-f(15)=-,
解得f(15)=或f(15)=(舍去).