Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集為（-∞，1）∪（b，+∞）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

anan+1

求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由不等式ax²-3x+2＞0的解集為（-∞，1）∪（b，+∞）可知x=1，x=b是方程不等式ax²-3x+2=0的根，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求a，b，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)可求a_n
（2）由（1）可得bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和可求

解答：解：（1）∵不等式ax²-3x+2＞0的解集為（-∞，1）∪（b，+∞）
∴x=1，x=b是方程不等式ax²-3x+2=0的根
∴

1+b= 3 a b= 2 a

解可得，b=2，a=1
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）由bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

×

2n

2n+1

=

n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用．