Question

已知數列{a_n}滿足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定義使a₁•a₂•a₃…a_k為整數的數k（k∈N^*）叫做企盼數，則區間[1，2013]內所有的企盼數的和為（　　）

A．1001

B．2026

C．2030

D．2048

Answer 1

∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

，（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2k

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數，
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2013]，∴1≤2ⁿ-2≤2013，∴取2≤n≤10；
∴區間[1，2013]內所有的企盼數的和為：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026；
故選：B．