Question

已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為(不重合)， 試問：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）把代入E得軌跡方程，由題意設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由兩點(diǎn)式寫出直線MQ的方程，取y=0后求出x，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可求得x=2，則得到直線MQ與x軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)．.
試題解析：（1）由題知：
化簡得：                    2分
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)  軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)；6分
（2）設(shè) 
依題直線的斜率存在且不為零，則可設(shè):，
代入整理得
，，                  9分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/7/1i5o71.png" style="vertical-align:middle;" />不重合，則
的方程為 令，
得
故直線過定點(diǎn).                         14分
解二：設(shè)
依題直線的斜率存在且不為零，可設(shè):
代入整理得：
,，               9分
的方程為  令，
得
直線過定點(diǎn)                14分
考點(diǎn)：1.橢圓的簡單性質(zhì)；2.與直線有關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程.