Question

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問M,F,Q是否共線，若共線請(qǐng)證明；反之說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ； (Ⅱ)參考解析

解析試題分析：(Ⅰ)因?yàn)橛医裹c(diǎn)為F(2，0)，所以可得c=2,又因?yàn)檫^x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.所以.再利用橢圓中的關(guān)系式.即可求出b的值，從而可得結(jié)論.
(Ⅱ)假設(shè).通過以及點(diǎn)在橢圓上，消去.即可得一個(gè)用表示的一個(gè)等式.又由于.通過對(duì)比向量與即可得結(jié)論.
試題解析：（1）由題意可知：，則，，從而，故所求橢圓的方程為．                   5分
（2）解：三點(diǎn)共線.
證明：，由已知得方程組
注意到，解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3f/c/0sohn.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
,
又
，所以，從而三點(diǎn)共線。            12分
考點(diǎn)：1.橢圓的基本性質(zhì).2.向量的共線問題.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.