Question

【題目】已知函數， 且.
（1）若曲線在點處的切線垂直于軸，求實數的值；

（2）當時，求函數的最小值；

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時，函數的最小值為；當時，函數的最小值為.

【解析】試題分析：（1）欲求實數a的值，只須求出切線斜率的值列出關于a的等式即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為0即可求得a；

（2）求出函數的導數，討論a的取值范圍，再根據導數求函數的單調性，從而可求出函數的最小值.

試題解析：

由題意得：

；

(1) 由曲線在點處的切線垂直于軸，結合導數的幾何意義得，即 ，解得；

(2) 設，則只需求當時，函數的最小值.

令，解得或，而，即.

從而函數在和上單調遞增，在上單調遞減.

當時，即時，函數在上為減函數， ；

當，即 時，函數的極小值即為其在區間上的最小值， .

綜上可知，當時，函數的最小值為；當時，函數的最小值為.