Question

【題目】在三棱柱中，底面是正三角形，側棱底面．D，E分別是邊BC，AC的中點，線段與交于點G，且，．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：⊥平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）證明EG∥AB1．然后利用直線與平面平行的判定定理證明EG∥平面AB1D．

（2）取B1C1的中點D1，連接DD1．建立空間直角坐標系D-xyz，通過向量的數量積證明BC1⊥DA，BC1⊥DB1．然后證明BC1⊥平面AB1D．

（3）求出平面B1CB的一個法向量，平面AB1C的一個法向量，設二面角A-B1C-B的平面角為θ，利用空間向量的數量積求解二面角的余弦函數值即可．

（1）證明：因為E為AC中點，G為B1C中點．所以EG∥AB1．

又因為EG平面AB1D，AB1平面AB1D，

所以EG∥平面AB1D．

（2）證明：取B1C1的中點D1，連接DD1．

顯然DA，DC，DD1兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，

則D（0，0，0），，B（0，-2，0），，，，C（0，2，0）．

所以，，．

又因為，，

所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1．

又因為DA∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D．

（3）解：顯然平面B1CB的一個法向量為=（1，0，0）．

設平面AB1C的一個法向量為：=（x，y，z），

又，，

由得

設x=1，則，，則．

所以．

設二面角A-B1C-B的平面角為θ，由圖可知此二面角為銳二面角，

所以．