Question

【題目】已知點 ，圓： ，過的動直線與⊙交兩點，線段中點為， 為坐標原點。

（1）求點的軌跡方程；

（2）當時，求直線的方程以及△面積。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線的方程為3x-y-8=0，△面積是

【解析】試題分析：（Ⅰ）圓C的方程可化為（x-4）2+y2=16，由此能求出圓心為C（4，0），半徑為4，設M（x，y），求出向量CM，MP的坐標，由運用向量的數量積的坐標表示，化簡整理求出M的軌跡方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知M的軌跡是以點N（3，-1）為圓心， 為半徑的圓．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，可得ON⊥PM，由直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由點斜式方程可得直線l的方程．利用點到直線距離公式結合已知條件能求出△POM的面積

試題解析：

（Ⅰ）圓C的方程可化為： ，所以圓心C(4,0)半徑為4。

設M（x,y）,則（x-4，y），則由條件知，

故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，即。由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M的軌跡是以點N（3，-1）為圓心，以為半徑的圓。又，故O在線段PM的垂直平分線上，顯然P在圓N上，從而ON⊥PM。KON=,所以直線的斜率為3，故直線的方程為3x-y-8=0.又=，O到的距離為，由勾股定理可得|PM|=,所以△面積是。