Question

【題目】已知曲線的方程為（， 為常數）.

（1）判斷曲線的形狀；

（2）設曲線分別與軸， 軸交于點， （， 不同于原點），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設直線： 與曲線交于不同的兩點， ，且，求的值.

Answer 1

【答案】(1)以點為圓心，以為半徑的圓.(2)答案見解析；(3) 或.

【解析】試題分析：（1）將原式子化簡配方，得到，可知曲線是圓；（2）因為這個三角形是直角三角形，三角形面積是底乘高，直接求出曲線和坐標軸的交點即可。（3）首先向量坐標化，得到，聯立直線和曲線得到二次方程，根據韋達定理得，求出即可。

解析：

（1）將曲線的方程化為，整理得，

可知曲線是以點為圓心，以為半徑的圓.

（2）的面積為定值.

證明如下：在曲線的方程中令，得，得，

在曲線方程中令，得，得，

所以（定值）.

（3）直線與曲線方程聯立得，

設， ，則

， ，

，

即，即，解得或，

當時，滿足；當時，滿足.

故或.