Question

已知z為復數，z+2i和

z

2-i

均為實數，其中i是虛數單位．
（Ⅰ）求復數z；
（Ⅱ）若復數（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設復數z=a+bi（a，b∈R），
由題意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又

z

2-i

=

(a+bi)(2+i)

5

=

2a-b

5

+

2b+a

5

i∈R，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i
對應的點在復平面的第一象限，
∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＞0

解得a的取值范圍為2＜a＜6．