Question

9．函數f（x）是定義在R上的偶函數，且 f（2）=0，當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，則不等式f（x）＜0的解集為（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根據函數的單調性和函數的奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，
∴當x＞0時，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數，
∴g（x）在（-∞，0）遞增，
∵f（2）=0
∴g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
當x＞0時，f（x）＜0等價于$\frac{f（x）}{x}$＜0，
∴g（x）＜0=g（2），
∴0＜x＜2，
當x＜0時，f（x）＜0等價于$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴g（x）＞0=g（-2），
∴-2＜x＜0，
不等式f（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2），
故選：C．

點評 本題主要考察函數奇偶性的應用，考查函數的單調性，是一道中檔題．