Question

14．已知復數z+i，$\frac{z}{2+i}$均為實數，且在復平面內，（z+ai）²的對應點在第四象限內，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 復數z+i，$\frac{z}{2+i}$均為實數，可設z=x-i，$\frac{x-i}{2+i}$=$\frac{2x-1}{5}$-$\frac{2+x}{5}$i，可得-$\frac{2+x}{5}$=0，z=-2-i．在復平面內，（z+ai）²=4-（a-1）²-4（a-1）i的對應點在第四象限內，可得4-（a-1）²＞0，-4（a-1）＜0，解出即可得出．

解答 解：∵復數z+i，$\frac{z}{2+i}$均為實數，
設z=x-i，$\frac{x-i}{2+i}$=$\frac{（x-i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{2x-1}{5}$-$\frac{2+x}{5}$i，∴-$\frac{2+x}{5}$=0，
∴x=-2．
∴z=-2-i．
∵在復平面內，（z+ai）²=[-2+（a-1）i]²=4-（a-1）²-4（a-1）i的對應點在第四象限內，
∴4-（a-1）²＞0，-4（a-1）＜0，
解得：1＜a＜3．
∴實數a的取值范圍是（1，3）．

點評 本題考查了復數的運算法則、復數為實數的充要條件、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．