Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：
①對任意的實數x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）；
②f（1）=2；
③f（x）在[0，1]上為增函數．
（Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（Ⅲ）（說明：請在（ⅰ）、（ⅱ）問中選擇一問解答即可．）
（ⅰ）設a，b，c為周長不超過2的三角形三邊的長，求證：f（a），f（b），f（c）也是某個三角形三邊的長；
（ⅱ）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）賦值法：由①取x=y=0，可求得f（0），取x=-1，y=1及條件②可求得f（-1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜測函數f（x）是奇函數，在①中取x=-1，根據奇函數定義即可證明；
（Ⅲ）因為a，b，c為周長不超過2的三角形三邊的長度，所以0＜a，b，c＜1，不妨設c≥b≥a，由條件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，只需證f（a）+f（b）＞f（c），由a，b，c為周長不超過2的三角形三邊的長度可得1≥1-

b-a

2

＞1-

c

2

＞0，由f（x）在[0，1]上的單調性及①即可證明；

解答：解：（Ⅰ）因為對任意的實數x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y），
取x=y=0，得f（1）=f（1）-[f（0）]²，解得f（0）=0，
取x=-1，y=1，得f（1）=f（-1）-f（-1）f（1），
又f（1）=2，所以2=f（-1）-2f（-1），解得f（-1）=-2，
所以f（-1）=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜測函數f（x）是奇函數，證明如下：
取x=-1，得f（y）=f（-y）-f（-1）f（y），即f（y）=f（-y）+2f（y），
所以f（-y）=-f（y），即對任意實數y，有f（-y）=-f（y）；
所以函數f（x）為奇函數；
（Ⅲ）（i）證明：因為a，b，c為周長不超過2的三角形三邊的長度，
所以0＜a，b，c＜1，不妨設c≥b≥a，由條件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，
為了證明“f（a），f（b），f（c）也是三角形三邊的長”，只需證f（a）+f（b）＞f（c），
因為a，b，c為周長不超過2的三角形三邊的長度，所以1＞

a+b

2

＞

c

2

＞0，1≥1-

b-a

2

＞1-

c

2

＞0，
又因為f（x）在[0，1]上為增函數，所以f（

a+b

2

）＞f（

c

2

）＞0，f（1-

b-a

2

）＞f（1-

c

2

）＞0，
所以f（a）+f（b）=f（a）-f（-b）=f（1-

b-a

2

）•f（

a+b

2

）＞f（1-

c

2

）•f（

c

2

）=f（2-c）-f（2），
在①中取x=0，y=1得f（2）=f（0）；取x=0，y=1-c得f（2-c）=f（c）；

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的綜合，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，對能力要求較高．