Question

【題目】已知直線與函數的圖像相切于點．

（1）求實數的值；

（2）證明除切點外，直線總在函數的圖像的上方；

（3）設是兩兩不相等的正實數，且成等比數列，試判斷與的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3) ；證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用直線與曲線相切的關系列方程求解可得 ；

(2) 構造函數，結合題意、原函數與導函數之間的聯系進行證明即可；

(3)，利用題意結合(1),(2)的結論和對數的性質進行證明即可.

試題解析：

（1）設切點為，則．

由，有，解得，

于是，得．

（2）構造函數，其導數．

當時，；當時，；

所以在區間單調遞減，在區間單調遞增．

所以．

因此對于，總有，

即除切點外，直線總在函數的圖像的上方．

（3）因為是兩兩不相等的正實數，所以．

又因為成等比數列，所以，

于是．

而，

．

由于，且函數是增函數，因此

，

故．