已知橢圓
：
的左焦點為
，右焦點為
．
（Ⅰ）設直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于點P，線段
的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設
為坐標原點，取曲線上不同于的點
，以
為直徑作圓與相交另外一點
，求該圓的面積最小時點的坐標．
（Ⅰ）
（Ⅱ）
.
【解析】
試題分析：(Ⅰ) 利用拋物線的定義“到定點的距離等于到定直線的距離”來求；(Ⅱ) 直線與拋物線相交，聯立消元，設點代入化簡，利用基本不等式求最值.
試題解析：（I）
在線段
的垂直平分線上，∴| MP | = | M
|
故動點M到定直線
的距離等于它到定點
的距離
因此動點M的軌跡
是以
為準線，為焦點的拋物線，
所以點M的軌跡的方程為
(II)因為以OS為直徑的圓與相交于點R，
所以
，即
設
，
，則
，
，
，
所以
，即
∵
，
，∴
故
，當且僅當
，即
時等號成立
當
時，
，圓的直徑
，
這時點S的坐標為．
考點：拋物線的定義，向量的坐標運算，基本不等式，坐標表示等，考查了學生的綜合化簡計算能力.
科目：高中數學 來源： 題型：
如圖,已知橢圓
+
=1的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點.
(1)若點G的橫坐標為-
,求直線AB的斜率.
(2)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點)的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
如圖,已知橢圓
+
=1的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點.
(1)若點G的橫坐標為-
,求直線AB的斜率.
(2)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點)的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年北京市昌平區高三考模擬考試數學試卷（文科） 題型：解答題
已知橢圓C:
的左焦點為
（-1，0），離心率為
，過點的直線
與橢圓C交于
兩點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（II）設過點F不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、 B兩點，線段AB的垂直平分線與
軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知橢圓C:
的左焦點為
（-1，0），離心率為
，過點的直線
與橢圓C交于
兩點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（II）設過點F不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、 B兩點，線段AB的垂直平分線與
軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.
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