Question

10．函數的f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}≤φ≤\frac{π}{2}$）圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，若$f（\frac{α}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（0＜α＜π），則$sin（\frac{5π}{3}-α）$=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• C． $±\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由題意利用正弦函數的圖象和性質求得sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用誘導公式、同角三角函數的基本關系，求得要求式子的值．

解答 解：∵函數的f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}≤φ≤\frac{π}{2}$）圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，
且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，∵sin（2•$\frac{π}{3}$+φ）=±1，∴φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
若$f（\frac{α}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）（0＜α＜π），∴sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，∴α-$\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{π}{6}$），
則$sin（\frac{5π}{3}-α）$=sin（2π-$\frac{π}{3}$-α）=-sin（$\frac{π}{3}$+α）=-sin[$\frac{π}{2}$+（α-$\frac{π}{6}$）]=-cos（α-$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象和性質，誘導公式的應用，屬于基礎題．