Question

19．二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是2ⁿ，求出n的值；再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是
2ⁿ=64，
解得n=6；
∴二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）⁶展開式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{6-r}$•${（-\frac{1}{2x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=2；
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：
T₂₊₁=（-1）²•${C}_{6}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)和與展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．