Question

【題目】已知二次函數滿足

(1)求函數的解析式；

(2)令

若函數在上是單調函數，求實數m的取值范圍；

求函數在的最小值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝﹣x2+2x+15（2）①m≤0，或m≥2②見解析

【解析】

（1）據二次函數的形式設出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應系數相等解得．

（2）函數g（x）的圖象是開口朝上，且以x＝m為對稱軸的拋物線，

①若函數g（x）在x∈[0，2]上是單調函數，則m≤0，或m≥2；

②分當m≤0時，當0＜m＜2時，當m≥2時三種情況分別求出函數的最小值，可得答案．

解：（1）設f（x）＝ax2+bx+c，

∵f（2）＝15，f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，

∴4a+2b+c＝15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝﹣2x+1；

∴2a＝﹣2，a+b＝1，4a+2b+c＝15，解得a＝﹣1，b＝2，c＝15，

∴函數f（x）的表達式為f（x）＝﹣x2+2x+15；

（2）∵g（x）＝（2﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣2mx﹣15的圖象是開口朝上，且以x＝m為對稱軸的拋物線，

①若函數g（x）在x∈[0，2]上是單調函數，則m≤0，或m≥2；

②當m≤0時，g（x）在[0，2]上為增函數，當x＝0時，函數g（x）取最小值﹣15；

當0＜m＜2時，g（x）在[0，m]上為減函數，在[m，2]上為增函數，當x＝m時，函數g（x）取最小值﹣m2﹣15；

當m≥2時，g（x）在[0，2]上為減函數，當x＝2時，函數g（x）取最小值﹣4m﹣11；

∴函數g（x）在x∈[0，2]的最小值為