Question

【題目】設遞增數列共有項，定義集合，將集合中的數按從小到大排列得到數列；

（1）若數列共有4項，分別為，，，，寫出數列的各項的值；

（2）設是公比為2的等比數列，且，若數列的所有項的和為4088，求和的值；

（3）若，求證：為等差數列的充要條件是數列恰有7項；

Answer 1

【答案】（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；

【解析】

(1)根據題意從小到大計算中的值即可.

(2)易得數列的所有項的和等于中的每個項重復加了次,再根據等比數列求和即可.

(3)分別證明當時,若為等差數列則數列恰有7項以及當數列恰有7項證明為等差數列即可.

(1)易得當,,,時, ,

,,,

.

(2)若是公比為2的等比數列,且,則數列的所有項的和等于中每一項重復加了次,故.即,又,故,易得隨著的增大而增大.

當時,

當時,

當時,

故,此時.

(3)證明：

先證明充分性：若,且為等差數列,不妨設,則數列也為等差數列為的等差數列.且最小值為,最大值為.

故數列恰有7項.

再證明必要性：

若數列恰有7項.

則因為.

故的7項分別為.

又,可得,即.

同理有,故為等差數列.

綜上可知, 若,則為等差數列的充要條件是數列恰有7項