Question

（本題12分）如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，
AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B₁C₁E
與直線AA₁的交點(diǎn)。
（1）證明：（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁與平面B₁C₁EF所成的角的正弦值。

Answer 1

（1）見解析；(2) BC與平面所成角的正弦值是.

本試題主要是考查了線線平行的證明，以及線面垂直的證明，以及線面角的求解。
（1）因?yàn)樵趥?cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，
AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B₁C₁E
與直線AA₁的交點(diǎn)。那么可知得到證明。
（2）先證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可。
（3）根據(jù)上一問可知線面垂直，那么利用平面的垂直，得到斜線的射影，進(jìn)而表示線面角的大小，求解得到。
（1）（i）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233219996666.png" style="vertical-align:middle;" />， 平面ADD₁ A_1，所以平面ADD₁ A_1.
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233220089635.png" style="vertical-align:middle;" />平面ADD₁ A₁₌，所以.所以.   3分
(ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233220167704.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233220214547.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
在矩形中，F(xiàn)是AA的中點(diǎn)，
即.
即，故.所以平面.      4分
(2) 設(shè)與交點(diǎn)為H，連結(jié).
由（1）知，所以是與平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得
，所以BC與平面所成角的正弦值是.    5分