Question

如圖；已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設圓T與橢圓C交于點M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點，且直線MP,NP分別與軸交于點R，S，O為坐標原點。求證：為定值.

Answer 1

（1）（2）取得最小值為-，圓T的方程為：；
（3）

解析試題分析：（1）橢圓C:的離心率為
由橢圓的左頂點為，所以可得橢圓的標準方程；
（2）點M與點N關于軸對稱，設，
 ，再根據的取值范圍求出的最小值，并由取得最小值的條件確定，進而確定圓的半徑.
（3）設點,利用點分別是直線 與軸的交點，把 用表示,
而,結合點都在橢圓上,將表達式化簡即可.
試題解析：
解：（1）由題意知解之得；，由得b=1，
故橢圓C方程為;3分
（2）點M與點N關于軸對稱，
設 不妨 設.
由于點M在橢圓C上，,
由已知,
,
階段;
由于故當時，取得最小值為-,
當時，故又點M在圓T上，代入圓的方程得,故圓T的方程為：；...8分
（3）設，則直線MP的方程為
令，得，同理, 故，10分
又點M與點P在橢圓上，故 ，
得，
為定值．.14分
考點：1、橢圓的標準方程；2、圓的標準方程序；3、向量的數量積；4直線的方程.