Question

如圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于，兩點，且、、三點互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）根據題意及列方程組可得的值。即可得此橢圓方程。（2）設出的坐標及直線的方程與橢圓方程聯立消掉可得關于的方程，根據題意可知判別式應大于0，根據韋達定理可得此方程的兩根之和與兩根之積。即點橫坐標間的關系，代入直線方程，可得點縱坐標之間的關系。然后根據斜率公式可得斜率之和，將其化簡問題即可得證。
試題解析：由題意，可得，代入
得，又，      2分
解得，，，
所以橢圓的方程.        5分
(2)證明：設直線的方程為，又三點不重合，∴，設，，
由得
所以 
 ①   ②       8分
設直線，的斜率分別為，，
則
 (*)       10分
將①、②式代入(*)，
整理得，
所以，即直線的斜率之和為定值.          12分
考點：1橢圓的標準方程；2直線和圓錐曲線的位置關系問題；3定值問題。